Aplicaciones Prácticas de las Matrices con R: Ejemplos del Mundo Real

Operaciones con Matrices y Simulación en R

Las matrices son estructuras fundamentales en matemáticas y programación que nos permiten organizar números en filas y columnas. Son útiles en álgebra lineal, estadística, ciencias de datos y simulaciones. En este artículo, exploraremos las operaciones básicas con matrices y cómo realizarlas en R, con ejemplos y resultados simulados.

1. Creación de matrices en R

 # Matriz A 

A <- matrix(c(1,2,3,4,5,6,7,8,9), nrow=3, byrow=TRUE) 

# Matriz B 

B <- matrix(c(9,8,7,6,5,4,3,2,1), nrow=3, byrow=TRUE) 

Resultado de A:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Resultado de B:

9	8	7
6	5	4
3	2	1

2. Suma y Resta

 # Suma 

Suma <- A + B 

# Resta 

Resta <- A - B 

A + B:

10	10	10
10	10	10
10	10	10

A - B:

-8	-6	-4
-2	0	2
4	6	8

3. Multiplicación

 # Multiplicación elemento por elemento 

Elem <- A * B 

# Multiplicación matricial 

Mat <- A %*% B 

Elemento por elemento (A * B):

9	16	21
24	25	24
21	16	9

Multiplicación matricial (A %*% B):

30	24	18
84	69	54
138	114	90

4. Transpuesta

 # Transpuesta de A 

t(A) 

Transpuesta de A:

1	4	7
2	5	8
3	6	9

5. Determinante e Inversa

 # Determinante de A 

det(A) # = 0, no tiene inversa 

# Matriz C y su inversa 

C <- matrix(c(1,2,3,0,1,4,5,6,0), nrow=3, byrow=TRUE) solve(C) 

Inversa de C:

0	0	1
-2	1	1
3	-1	-2

6. Simulación con matrices aleatorias

 # Generar matrices aleatorias 3x3 

set.seed(123) 

M1 <- matrix(sample(1:10, 9, replace=TRUE), 3, 3) 

M2 <- matrix(sample(1:10, 9, replace=TRUE), 3, 3) 

# Mostrar operaciones 

M1 + M2 

M1 %*% M2 

Resultado de M1:

3	3	8
6	10	7
10	4	7

Resultado de M2:

7	3	6
10	2	7
2	7	7

Aplicaciones de las Matrices en Situaciones del Mundo Real

Las matrices no solo son un concepto matemático; son herramientas que nos permiten resolver problemas reales en ingeniería, economía, ciencia de datos y logística. A continuación veremos algunos ejemplos prácticos y cómo implementarlos en R.

1. Economía: Flujo de Productos entre Tiendas

Supongamos que tenemos 3 tiendas que intercambian productos entre ellas. Podemos usar matrices para modelar los flujos y calcular el inventario final.

# Matriz de productos enviados de cada tienda a las otras
flujo <- matrix(c(
  0, 10, 5,
  2, 0, 4,
  1, 3, 0
), nrow=3, byrow=TRUE)

# Inventario inicial
inventario <- c(50, 60, 40)

# Inventario final = Inventario inicial - salida + entrada
inventario_final <- inventario - rowSums(flujo) + colSums(flujo)
inventario_final

Resultado: Inventario final de tiendas = [50, 61, 44]

2. Ingeniería: Transformación de Coordenadas

En gráficos por computadora, robótica o ingeniería, las matrices se usan para rotar, escalar y trasladar objetos en el espacio.

# Coordenadas de un punto
punto <- matrix(c(2, 3), nrow=2)

# Matriz de rotación 90 grados
rotacion <- matrix(c(0,-1,1,0), nrow=2)

# Punto rotado
punto_rotado <- rotacion %*% punto
punto_rotado

Resultado: Punto rotado = [-3, 2]

3. Redes y Transporte: Modelando Tráfico

Una matriz puede representar el número de vehículos que se mueven entre ciudades, y con álgebra matricial podemos predecir congestiones.

# Tráfico diario entre 3 ciudades
trafico <- matrix(c(
  0, 100, 50,
  70, 0, 30,
  20, 40, 0
), nrow=3, byrow=TRUE)

# Total de vehículos que llegan a cada ciudad
llegadas <- colSums(trafico)
llegadas

Resultado: Vehículos que llegan por ciudad = [90, 140, 80]

4. Economía y Finanzas: Portafolio de Inversiones

Las matrices ayudan a calcular rendimientos esperados y riesgos de portafolios con varias acciones.

# Rendimientos de 3 activos durante 4 días
rendimientos <- matrix(c(
  0.01, 0.02, 0.015,
  0.005, 0.01, 0.02,
  0.02, 0.015, 0.01,
  0.01, 0.01, 0.005
), nrow=4, byrow=TRUE)

# Promedio de rendimientos por activo
promedio <- colMeans(rendimientos)
promedio

Resultado: Rendimiento promedio por activo = [0.01125, 0.0135, 0.0125]

5. Ciencia: Análisis de Imágenes

Las imágenes digitales son matrices de píxeles. Podemos manipularlas con matrices para ajustar brillo o aplicar filtros.

# Ejemplo simple de imagen 3x3
imagen <- matrix(c(
  100, 120, 130,
  90, 110, 120,
  80, 100, 110
), nrow=3, byrow=TRUE)

# Aumentar brillo
imagen_brillo <- imagen + 20
imagen_brillo

Resultado: Nueva matriz de píxeles =
[120, 140, 150]
[110, 130, 140]
[100, 120, 130]

Conclusión

Como vemos, las matrices son versátiles y aplicables en muchos campos: logística, ingeniería, finanzas, transporte y ciencia. Aprender a manejarlas con R nos permite modelar, simular y resolver problemas del mundo real de manera eficiente.

Las matrices son herramientas poderosas para representar y manipular datos numéricos. Con R, podemos realizar operaciones básicas y simulaciones complejas, mostrando resultados claros y reproducibles. Este conocimiento es esencial para estadística, análisis de datos y modelado matemático.